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    （2013•合肥二模）已知椭圆：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的长轴长为4，且过点（
    		3
    ，
    1
    2
    ）．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设A，B，M是椭圆上的三点．若
    OM
    =
    3
    5
    OA
    +
    4
    5
    OB
    ，点N为线段AB的中点，C（-
    		6
    2
    ，0），D（
    		6
    2
    ，0），求证：|NC|+|ND|=2
    		2
    ．
    分析：（I）利用椭圆长轴长为4，且过点（
    		3
    ，
    1
    2
    ），求出几何量，即可求椭圆的方程；
    （II）证明线段AB的中点N在椭圆
    x2
    2
    +2y2=1    上，利用椭圆的定义，即可得到结论．
    解答：（Ⅰ）解：由题意：2a=4，所以a=2，
    ∵橢圆：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1过点（
    		3
    ，
    1
    2
    ），
    ∴
    3
    4
    +
    1
    4b2
    =1
    ∴b2=1
    ∴所求椭圆方程为
    x2
    4
    +y2=1    ；
    （II）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
    x12
    4
    +y12=1    ，
    x22
    4
    +y22=1
    ∵
    OM
    =
    3
    5
    OA
    +
    4
    5
    OB
    ，
    ∴M（
    3
    5
    x1+
    4
    5
    x2    ，
    3
    5
    y1+
    4
    5
    y2    ）
    ∴
    (
    3
    5
    x1+
    4
    5
    x2)    2
    4
    +(
    3
    5
    y1+
    4
    5
    y2)    2    =1
    ∴
    x1x2
    4
    +y1y2=0
    ∵点N为线段AB的中点
    ∴N（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）
    ∴
    (
    x1+x2
    2
    )2
    2
    +2(
    y1+y2
    2
    )2    =
    1
    2
    (
    x12
    4
    +y12)+
    1
    2
    (
    x22
    4
    +y22)+
    x1x2
    4
    +y1y2=1
    ∴线段AB的中点N在椭圆
    x2
    2
    +2y2=1    上
    ∵椭圆
    x2
    2
    +2y2=1    的两焦点为C（-
    		6
    2
    ，0），D（
    		6
    2
    ，0），
    ∴|NC|+|ND|=2
    		2
    ．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆定义的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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    m
    =（sinB，cosB），
    n
    =（cos2C，sin2C），求|
    m
    +
    n
    |的取值范围．

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    x2
    a2
    -
    y2
    b2
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    π
    6
    的直线FE交该双曲线右支于点P，若
    OE
    =
    1
    2
    （
    OF
    +
    OP
    ），且
    OE
    •
    EF
    =0则双曲线的离心率为（　　）

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