Question

18．若关于x的函数$y=2x-\frac{m}{x}$在（1，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（　　）

• A． [-2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，提取公因式，便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）（2+\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$，从而得出$2+\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，进一步得到m＞-2x₁x₂，可求-2x₁x₂的范围，从而可以得出m的取值范围．

解答 解：设x₁＞x₂＞1，则：
${y}_{1}-{y}_{2}=2{x}_{1}-\frac{m}{{x}_{1}}-2{x}_{2}+\frac{m}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（2+\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞1，该函数在（1，+∞）上是增函数；
∴x₁-x₂＞0，$2+\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴m＞-2x₁x₂；
∵x₁x₂＞1；
∴-2x₁x₂＜-2；
∴m≥-2；
∴m的取值范围为[-2，+∞）．
故选：A．

点评 考查增函数的定义，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，以及不等式的性质．