Question

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=x²-ax•f（x），试讨论函数g（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知f（x）=

lnx

x

，利用导数法判断函数的单调性后，可得f（x）在（0，e）上递增；f（x）在（e，+∞）上递减；故f（x）的最大值为f（e）
（II）由区间的定义可得a＞0，且e^a-a＞0，求出函数g（x）的函数解析式，利用导数法分析其单调性后，分①当

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e时，
②当

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e时，③当

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e时，三种情况讨论函数g（x）在区间（1，e^a）上零点的个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意知f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上递减；
所以，f（x）的最大值为f（e）=

1

e

．…（4分）
（Ⅱ）∵e^a＞1
∴a＞0，且e^a-a＞0
因为g（x）=x²-ax•f（x）=g（x）=x²-alnx，
所以g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
当x∈（0，

2a

x

）时，g′（x）＜0，当x∈（

2a

x

，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，

2a

x

）上是减函数，在（

2a

x

，+∞）上是增函数．
所以，当x=

2a

x

时，g（x）取最小值g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）        …（7分）
下面讨论函数g（x）的零点情况．  
①当

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e时，
函数g（x）在（1，e^a）上无零点；
②当

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e时，

2a

2

=

e

，
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a
∴

2a

2

＜e^a，则1＜

2a

2

＜e^a，
而g（1）=1＞0，g（

2a

2

）=0，g（e^a）＞0
∴g（x）在（1，e^a）上有一个零点；
③当

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e时，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于g（1）=1＞0，g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
g（e^a）＞e^2a-alne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函数g（x）在（1，e^a）上有两个零点．
综上所述，g（x）在（1，e^a）上，有结论：
当0＜a＜2e时，函数g（x）无零点；
当a=2e 时，函数g（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数g（x）有两个零点．…（10分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的最值，利用导数研究函数的极值，是导数问题比较综合的应用，难度较大，特别是第（II）问中分类标准的确定，一定要引起足够的重视．