精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=px-
px
-2lnx、
(Ⅰ)若p=3,求曲f9想)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若p>0且函f(x)在其定义域内为增函数,求实数p的取值范围;
(Ⅲ)若函数y=f(x)在x∈(0,3)存在极值,求实数p的取值范围.
分析:(I)把p=3代入f(x)中确定出解析式,求出f(1)确定出切点坐标和导函数,把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率,根据切点坐标和斜率写出切线方程即可;
(Ⅱ)求出f(x)的导函数,要使函数在定义域内位增函数,即要导函数在定义域内恒大于0,由导函数的分子解出p大于等于一个关系式,利用基本不等式求出这个关系式的最大值,进而得到p的取值范围;
(Ⅲ)求出f(x)的导函数,令导函数等于0得到一个方程,记作(*),设方程的左边为函数h(x),当p=0时求出方程(*)的解为0,显然函数无极值点;当p不为0时,讨论函数有一个极值和两个极值,列出不等式组,求出不等式组的解集即可得到p的取值范围.
解答:解:(I)当p=3时,函数f(x)=3x-
3
x
-2lnx,
f(1)=3-3-2ln1=0,f′(x)=3-
3
x2
-
2
x

曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线的斜率为f′(1)=3-3-2=4,
∴f(x)在点(1,f(x))处得切线方程为y-0=4(x-1),即y=4x-4;
(Ⅱ)f′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2-2x+p
x
,(4分)
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,
即px2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,(5分)
即p≥
2x
x2+1
在(0,+∞)上恒成立,
设M(x)=
2x
x2+1
,(x>0)(6分)
则M(x)=
2x
x2+1
=
2
x+
1
x

∵x>0,∴x+
1
x
≥2,当且仅当x=1时取等号,(7分)
∴M(x)≤1,即M(x)max=1,∴p≥1,
所以实数p的取值范围是[1,+∞);(8分)
(Ⅲ)∵f′(x)=
px2-2x+p
x
,令f′(x)=0,即px2-2x+p=0(*)(9分)
设h(x)=px2-2x+p,x∈(0,3),
当p=0时,方程(*)的解为x=0,此时f(x)在x∈(0,3)无极值,所以p≠0;
当p≠0时,h(x)=px2-2x+p的对称轴方程为x=
1
p

①若f(x)在x∈(0,3)恰好有一个极值,
p>0
h(x)=10p-6≤0
p<0
h(x)=10p-6≥0
,解得:0<p≤
3
5

此时f(x)在x∈(0,3)存在一个极大值;(11分)
②若f(x)在x∈(0,3)恰好两个极值,即h(x)=0在x∈(0,3)有两个不等实根
p>0
△=4-4p2>0
0<
1
p
<3
h(3)>0
p<0
△=4-4p2>0
0<
1
p
<3
h(3)>0
,解得:
3
5
<p<1,(13分)
∴0<p<1,
综上所述,当0<p<1时,y=f(x)在x∈(0,3)存在极值.(14分)
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,掌握函数的单调性与导数的关系,掌握函数在某点取得极值的条件,是一道中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
23
x3-2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义:两个连续函数(图象不间断)f(x)、g(x)在区间[a,b]上都有意义,则称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”.已知函数f(x)=x3,g(x)=x3-3ax2+2.
(Ⅰ)若函数y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线与直线y=x+2平行,求a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求汉顺f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对值”
(Ⅲ)记f(x)与g(x)在区间[0,2]上的“绝对和”为h(a),a>
32
,且h(a)=2,试求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P( 1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.
(1)若c∈[0,1),试求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的单调递增区间,试求n-m-2c的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•河北模拟)已知函数f(x)=alnx-bx2的图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)-mx,m∈R,如果g(x)的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),(x1<x2),AB中点为C(x0,0),求证:g′(x0)≠0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二阶矩阵M=(
a1
0b
)有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
e
1
=
1
1

(Ⅰ)求矩阵M;
(II)若
a
=
2
1
,求M10
a

(2)已知直线l:
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
(t为参数),曲线C1
x=cosθ
y=sinθ
  (θ为参数).
(Ⅰ)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
1
2
倍,纵坐标压缩为原来的
3
2
倍,得到曲线C2C,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
(3)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(Ⅰ)当m=5时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案