Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6

3

，BD=6，PD=3

6

，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由线面垂直的性质可得PD⊥AC，由菱形的性质可得BD⊥AC，由线面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD后，进而可得AC⊥DE；
（Ⅱ）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，求出直线EF的方向向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式可得EF与平面PAB所成角的正弦值．

解答：证明：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴PD⊥AC
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC
又∵PD∩BD=D，PD，BD?面PBD
∴AC⊥面PBD
又∵DE?面PBD
∴AC⊥DE                                      …（3分）
（Ⅱ）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
则∵AC=6

3

，BD=6，PD=3

6

，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．
∴P（-3，0，3

6

），A（0，-3

3

，0），B（3，0，0），C（0，3

3

，0），
∴

EB

=

1

3

PB

=（2，0，-

6

），

BF

=

1

3

BC

=（-1，

3

，0），
∴

EF

=

EB

+

BF

=（1，

3

，-

6

），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），由

PA

=（3，-3

3

，-3

6

），

PB

=（6，0，-3

6

）得，

n • PA =0 n • PB =0

，即

3x-3 3 y-3 6 z=0 6x-3 6 z=0

令z=2，则

n

=（

6

，-

2

，2）
则EF与平面PAB所成角θ满足
sinθ=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

2 6

10 •2 3

=

5

5

，
即

5

5

为EF与平面PAB所成角的正弦值…（8分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，（1）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．