Question

5．函数f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），则下面结论正确的是（　　）

• A． sina=acosb
• B． sinb=-bsina
• C． cosa=bsinb
• D． sina=-acosb

Answer 1

分析 化简f（x），得方程$\frac{|sinx|}{x}=k$有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可．

解答 解：f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k=$\frac{|sinx|}{x}$，
∵f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k在（0，+∞）上有两个不同的零点a，b（a＜b），
∴f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k=0在（0，+∞）上有两个不同的根a，b（a＜b），
即|sinx|=kx有两个根，
∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，
则函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，-sinb）时满足题意，
a，b是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y+sinb=f′（b）（x-b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=-b×（-cosb），
∴$\frac{sinb}{b}$=cosb，
∵O，A B三点共线，
∴$\frac{sina}{a}$=$\frac{-sinb}{b}$，
∴$\frac{sina}{a}$=-cosb，
∴sina=-acosb．
故选：D．

点评 本题借助图象考查了方程的根，函数的零点，以及导数的知识．把方程转化为函数的交点，利用数形结合是解题关键．