Question

已知函数f（x）=2ax+xlnx的图象在x=e处的斜率为4，证明：当x＞1时，f（x）-4x+3＞0恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义，求出切线斜率求出a的值，然后利用导数构造函数，求出函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=2ax+xlnx，
∴f′（x）=2a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为4，
∴f′（e）=4，∴2a+lne+1=4，
即2a=2．∴a=1．
∴f（x）=2x+xlnx，
令g（x）=f（x）-4x+3=xlnx-2x+3，
则g′（x）=lnx+1-2=lnx-1，
由g′（x）＞0，解得x＞e，此时函数递增，
由g′（x）＜0，解得1＜x＜e，此时函数递减，
故x=e时函数g（x）取得极小值，同时也是最小值g（e）=elne-2e+3=3-e＞0恒成立．

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值和最值，构造函数时解决本题的关键．