Question

已知函数f（x）=xe^x
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+a（

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x²+x）（a＞-

1

e

）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（-2-x），证明：当x＞-1时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间，这里可以考虑对它求导数，然后讨论导数的符号，从而找出F（x）的单调区间．求出F′（x）=（x+1）（e^x+a），对a的取值进行讨论，即可得到原函数的单调区间．
（Ⅱ）先求出g（x），要证明f（x）＞g（x），一般要想到的是证f（x）-g（x）＞0，所以这里构造函数H（x）=f（x）-g（x），即证x＞-1时，H（x）＞0，所以是由x的取值，确定H（x）取值范围，所以这里可考虑求导数判断函数单调性，根据单调性求H（x）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）F（x）=xex+a(

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x2+x)，∴F′（x）=（x+1）（e^x+a）；
∴（1）当a≥0时，e^x+a＞0，所以，x＜-1时，F′（x）＜0，所以F（x）在（-∞，-1]上单调递减；x＞-1时，F′（x）＞0，F（x）在（-1=，+∞）上单调递增；
（2）当-

1

e

＜a＜0时，令e^x+a=0得：x=ln（-a），则ln（-a）＜-1；
所以，x＜ln（-a）时，x+1＜0，e^x+a＜0，所以F′（x）＞0，所以函数F（x）在（-∞，ln（-a）]上单调递增；
ln（-a）＜x＜-1时，x+1＜0，e^x+a＞0，所以F′（x）＜0，所以函数F（x）在（ln（-a），-1]上单调递减；
x＞-1时，x+1＞0，e^x+a＞0，所以F′（x）＞0，所以函数F（x）在（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=（-2-x）e^（-2-x），令H（x）=f（x）-g（x）=xe^x-（-2-x）e^（-2-x），则H′（x）=e^x（1+x）+e^（-2-x）（1-x）；
x＞-1时，H′（x）＞0，所以H（x）在（-1，+∞）上单调递增，所以H（x）＞H（-1）=0，即f（x）-g（x）＞0，f（x）＞g（x），即x＞-1时，f（x）＞g（x）成立．

点评：考察去导数来判断函数的单调性，得出函数的单调区间，这里要对a进行取值讨论．第二问，想着构造函数H（x），利用求导数判断H（x）的单调性，来由x的取值范围，来确定H（x）的取值范围，从而证出当x＞-1时，f（x）＞g（x）．．