Question

如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=

2π

3

，PD=2

3

，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得PD⊥AC，由菱形性质得BD⊥AC，由此能证明平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）分别以OA、OB、OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：分别以OA、OB、OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（

3

，0，0），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），P（0，-1，2

3

），

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3

，-1，2

3

)，
由（1）知平面PBD的法向量为

n

=(1，0，0)，
设平面PAB的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • AB =- 3 x+y=0 m • AP =- 3 x-y+2 3 z=0

，
取x=1，得

m

=(1，

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角A-PB-D的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．