Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥平面PAD，点O，E分别是AD，PC的中点，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值；
（Ⅲ）设点F在线段PC上，且直线DF与平面POC所成角的正弦值为

2

4

，求线段DF的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以O为原点，OB、OD、OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥DE．
（Ⅱ）分别求出平面PAC的法向量和平面POC的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-O的余弦值．
（Ⅲ）设OC、BD交于点G，则DG=

2

2

，且DG⊥平面POC，直线DF与平面POC所成角为∠DFG，由此能求出DF．

解答： （Ⅰ）证明：∵CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O是AD的中点，
∴PO⊥AD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
如图，以O为原点，OB、OD、OP分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），E（

1

2

，

1

2

，1），P（0，0，2），
∴

AB

=(1，1，0)，

DE

=(

1

2

，-

1

2

，1)，
∴

AB

•

DE

=0，∴AB⊥DE．
（Ⅱ）解：

AC

=(1，2，0)，

PC

=(1，1，-2)，
设平面PAC的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • AC =x+2y=0 m • PC =x+y-2z=0

，令x=2，得

m

=(2，-1，

1

2

)，
又

BD

•

PO

=0，

BD

•

OC

=0，
∴平面POC的法向量

BD

=(-1，1，0)，
∴cos＜

m

，

BD

＞=

-2-1

2 • 21 4

=-

42

7

，
∵二面角A-PC-O的平面角是锐角，
∴二面角A-PC-O的余弦值是

42

7

．
（Ⅲ）解：设OC、BD交于点G，则DG=

2

2

，
且DG⊥平面POC，则直线DF与平面POC所成角为∠DFG，
∵直线DF与平面POC所成角的正弦值为

2

4

，
∴sin∠DFG=

DG

DF

=

2

4

，
解得DF=2．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．