Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）设F、M分别为PC、DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明CE⊥平面PDE，即可证明：平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）取PE中点G，连接FG，连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角，求出FG，MG，即可求直线MF与平面PDE所成的角．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=2AD，E为AB的中点，
∴AE=AD，
∴∠BAD=60°，
∴△ADE为正三角形，
∴∠AED=60°，
∵BE=BC，∠CBE=120°，
∴∠CEB=30°，
∴CE⊥DE，
∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，
∴CE⊥平面PDE，
∴平面PCE⊥平面PDE；
（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则
∵F为PC的中点，
∴FG∥CE，
∴FG⊥平面PDE，
连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．
设AD=2，则GM=

1

2

PD=1，
在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则
CE²=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2

3

，
∴FG=

3

．
在直角△FGM中，tan∠FMG=

FG

GM

=

3

，
∴∠FMG=60°，
∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．