Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，且b=

3

．
（1）若a=1，求∠A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的性质

专题：解三角形

分析：（1）由∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，确定出A+C的度数，利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinB的值代入求出sinA的值，确定出A的度数即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，设周长为y=a+b+c，将表示出的a与c，以及b的值代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B=π-B，
解得：B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，a=1，b=

3

，
∴

1

sinA

=

3

3 2

=2，即sinA=

1

2

，
又∵0＜A＜

2π

3

，
∴A=

π

6

；
（2）∵B=

π

3

，b=

3

，
∴

c

sinC

=

a

sinA

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴c=2sinC，a=2sinA，
设周长为y，
则y=a+b+c=2sinA+2sinC+

3

=2sinA+2sin[π-（

π

3

+A）]
=2sinA+2sin（A+

π

3

）+

3

=2sinA+2sinAcos

π

3

+2cosAsin

π

3

+

3

=2

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）+

3

=2

3

sin（A+

π

6

）+

3

，
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，即

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴2

3

＜2

3

sin（A+

π

6

）+

3

≤3

3

，
则周长的取值范围是（2

3

，3

3

]．

点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．