Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点Q为线段AD中点，PQ与QB不垂直．
（Ⅰ）若线段PC上的点M满足PM=

1

3

PC，证明：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）若平面PQB⊥平面PAD，求证：PA=PD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BQ=O，连接OM．由已知条件推导出△AOQ∽△COB，△CAP∽△COM．由此得到AP∥OM．从而能证明PA∥平面MQB． 
（Ⅱ）过B做BE⊥PQ于E，由已知条件推导出BE⊥AD，BQ⊥AD．从而得到AD⊥面PQB，进而得到AD⊥PQ，又Q为中点，由此证明PA=PD．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BQ=O，连接OM．
在△AOQ与△COB中，
因为AD∥BC，
所以∠OQA=∠OBC，∠OAQ=∠OCB．
所以△AOQ∽△COB．
所以

AO

OC

=

AQ

CB

=

1

2

．所以

AO

AC

=

1

3

．
在△CAP与△COM中，因为

CO

CA

=

CM

CP

=

2

3

，∠ACP=∠OCM，
所以△CAP∽△COM．所以∠CPA=∠CMO．所以AP∥OM．
因为OM?平面MQB，PA?平面MQB，
所以PA∥平面MQB．  …（6分）
（Ⅱ）证明：过B做BE⊥PQ于E，因为平面PQB∩平面PAD=PQ，
平面PQB⊥平面PAD，
所以BE⊥面PAD，AD在面PAD内
所以BE⊥AD，
连接BD，因为ABCD为菱形，∠DAB=60?，
所以AB=BD．所以BQ⊥AD．
BE∩BQ=B，所以AD⊥面PQB，所以AD⊥PQ，
又Q为中点，所以PA=PD  …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段长相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．