Question

AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1
（Ⅰ）求证：BF⊥平面DAF
（Ⅱ）求平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AD⊥BF，AF⊥BF，由此能证明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）取CD、EF的中点G，H，以O为原点，OA、OH、OG为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
∵AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）解：如图，取CD、EF的中点G，H，由题意OG、AB、OH两两垂直，
所以以O为原点，OA、OH、OG为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵等边△OEF中，OH=

3

2

，
∴B（-1，0，0），F（

1

2

，

3

2

，0），
D（1，0，1），E（-

1

2

，

3

2

，0），

DF

=(-

1

2

，

3

2

，-1)，

EF

=(1，0，0)，
由（Ⅰ）知平面ADF的一个法向量为

BF

=(

3

2

，

3

2

，0)，
设平面CDEF的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DF =- 1 2 x+ 3 2 y-z=0 n • EF =x=0

，取y=2，得

n

=(0，2，

3

)，
∴cos＜

n

，

BF

＞=

7

7

，
设所求二面角为θ，由图知θ是钝角，
∴cosθ=-

7

7

，
∴平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值为-

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．