Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}对任意n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立．
①求证：

cn

bn

=2（n≥2）；
②求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：

分析：（1）首先利用等差数列的通项公式将第2项，第5项，第14项用{a_n}的首项与公差表示，再根据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式即可；
（2）首先根据题意，再写一式，表示出a_n，然后两式相减，可推得

cn

bn

=2，进而求出数列{c_n}的通项，最后求数列{c_n}前2014项的和即可．

解答： 解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2（∵d＞0）∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又∵b₂=a₂=3，a₅=b₃=9，
所以等比数列{b_n}的公比q=

b3

b2

=3，
∴bn=b2qn-2=3n-1
（2）①证明：∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1
∴当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an
两式相减，得

cn

bn

=an+1-an=2(n≥2)．
②由①得cn=2bn=2×3n-1(n≥2)
当n=1时，

c1

b1

=a2，∴c₁=3不满足上式  
∴c1+c2+…+c2014=3+2×31+2×32+…+2×32013=3+

6-6×32013

1-3

=3-3+32014=32014

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列、等比数列的通项，考查数列的求和，考查学生的计算能力．