Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）设Q为线段AP上一点，若MQ∥平面PCB，求CQ的长； 
（2）求平面MCN与底面ABCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出Q的坐标，即可求CQ的长； 
（2）求出面ABCD的法向量、面MCN的法向量，利用向量的有关运算求出向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答： 解：（1）因为PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，所以以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
又因为∠ADC=90°，PA=4，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分别是PD，PB的中点，所以有A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(

2

，1，0)，D(

2

，0，0)，P(0，0，4)，M(

2

2

，0，2)，N(0，1，2)，
因为Q为线段AP上一点，所以可设Q（0，0，t），
则

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，t-2)，
设平面PBC的法向量为

n0

=(x，y，z)，
则有：

n0 ⊥ BC ⇒(x，y，z)•( 2 ，-1，0)=0⇒ 2 x-y=0 n0 ⊥ PB ⇒(x，y，z)•(0，2，-4)=0⇒2y-4z=0

令z=1，则x=

2

，y=2⇒

n0

=(

2

，2，1)，
又因为MQ∥平面PCB，所以

MQ

•

n0

=(-

2

2

，0，t-2)•(

2

，2，1)=0，得t=3，
从而得Q（0，0，3），故CQ=2

3

．
（2）设平面MCN的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
又

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)，
则有：

n ⊥ CM ⇒(x，y，z)•(- 2 2 ，-1，2)=0⇒- 2 2 x-y+2z=0 n ⊥ CN ⇒(x，y，z)•(- 2 ，0，2)=0⇒- 2 x+2z=0

令z=1，则x=

2

，y=1⇒

n

=(

2

，1，1)，又

AP

=(0，0，4)为平面ABCD的一个法向量，
所以cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

4

2×4

=

1

2

，故平面MCN与底面ABCD所成锐二面角的大小为

π

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的有关运算解决长度、体积、空间角等问题．