Question

已知函数f（x）=x-a，g（x）=a-

1

x

（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数h（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，4]的单调性并用定义证明；
（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在区间x∈[1，4]的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明即可．
（2）根据定义的M（a）为f（x）的最大值，写出不同区间上的表示式，根据不同区间上的表示式，写出分段函数．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-a，g（x）=a-

1

x

，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x+

1

x

，
设x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴h（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，4]的单调递增，
（Ⅱ）∵F（x）=|f（x）|+g（x）=|x-a|+a-

1

x

，
当a≤0时，
F（x）=x-

1

x

，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=

15

4

，
当a≥4时，
F（x）=2a-（x+

1

x

），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a-2，
当0＜a＜4时
①a≤x≤4时，F（x）=x-

1

x

，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=

15

4

，
②1≤x＜a时，F（x）=2a-（x+

1

x

），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a-2，
综上所述，M（a）=

15 4 ，a≤x≤4 2a-2，1≤x＜a

．

点评：本题考查利用定义判断函数的单调性，本题解题的关键是看清题干中所给的条件，写出正确的单调区间．