Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面C₁BD：
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接PD，PD∥B₁C，问题得以解决．
（2）易证BD⊥平面A₁ACC₁，A₁D⊥平面C₁DB，问题得以证明．
（3）作AM⊥A₁D，M为垂足，∠APM就是直线AB₁与平面A₁BD所成的角，解三角形得．

解答： 解：（1）设AB₁，交A₁B于点P，连结PD，
∵D是AC的中点
∴PD∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁D，PD?平面AB₁D，
∴B₁C∥平面A₁BD；

（2）∵A₁A⊥底面ABC，BD?平面ABC
∴BD⊥A₁A，
又底面是边长为2的正三角形，D是AC的中点．
∴BD⊥AC，
∵A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∴BD⊥A₁D，
∵在矩形A₁ACC₁中A₁A=1，AC=2
∴A₁D⊥C₁D，
∴A₁D⊥平面C₁DB，
∴平面A₁BD⊥平面C₁BD：
（3）作AM⊥A₁D，M为垂足，
由（2）知平面A₁BD⊥平面C₁BD：
∵平面A₁ACC₁∩平面A₁BD=A₁D，
∴AM⊥平面A₁BD，连接MP，则∠APM就是直线AB₁与平面A₁BD所成的角，
∵A₁A=1，AD=1，
∴在RtAA₁D中，AM=

2

2

，
∵AP=

1

2

AB1=

5

2

，
∴sin∠APM=

AM

AP

=

10

5

．
∴直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值

10

5

．

点评：本题在直三棱柱中证明线面平行和面面垂直和线面角的问题，着重考查了直三棱柱的性质和空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识，属于中档题