Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，建立条件关系即可求a，b的值；
（2）利用函数单调性，极值与导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）根据函数最值的求法即可求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴f（2）=8，f'（2）=0，
即8-6a+b=8，3×4-3a=0，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，无极值．
若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞

a

或x＜-

a

，此时函数单调递增，递增区间为[

a

，+∞），（-∞，-

a

]，
由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，此时函数递减，递减区间为（-

a

，

a

），
即当x=-

a

，函数取得极大值为f（-

a

）=-4a

a

+b，
当x=

a

，函数取得极小值为f（

a

）=-2a

a

+b．
（3）若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，
此时函数的最大值为f（3）=27-9a+b，最小值为f（-3）=-27+9a+b，
若a＞0，由（2）知，函数在-

a

＜x＜

a

，函数递减，
则当

a

≥3，即a≥9时，函数的最大值为f（-3）=-27+9a+b，
最小值为f（3）=27-9a+b，
若

a

＜3，即00＜a＜9，函数的最大值为f（-

a

）=-4a

a

+b，
函数取得最大值为f（

a

）=-2a

a

+b．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，要求熟练掌握函数的单调性，极值和最值与导数之间的关系．