Question

已知等差数列{a_n}中，S₃=21，S₆=24，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，列出关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得a_n；
（2）由a_n=11-2n≥0⇒n≤5.5（n∈N^*），从而可知当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0，分n≤5、n≥6两种情况讨论，利用等差数列的前n项和公式可求得答案．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

3a1+ 3×2 2 d=21 6a1+ 6×5 2 d=24

，解得a₁=9，d=-2，
∴a_n=9+（n-1）×（-2）=11-2n；
（2）由a_n=11-2n≥0得：n≤5.5，又n∈N^*，
∴当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0，
又数列{|a_n|}的前n项和为T_n，
∴①当n≤5时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a_n
=

n(9+11-2n)

2

=10n-n²；
②当n≥6时，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₅|+|a₆|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a₅+a₆+…+a_n）+2（a₁+a₂+…+a₅）
=-[na₁+

n(n-1)

2

d]+2（5a₁+

5×4

2

d）
=-[9n+

n(n-1)

2

×(-2)]+2（5×9-2×

5×4

2

）
=n²-10n+50．
∴T_n=

10n-n2，n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

点评：该题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力．