Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，E，F分别是BB₁，CD的中点，（如图建立空间直角坐标系）
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）求异面直线EF和CB₁所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）依题意分别求得A，E，D₁和F的坐标取得）

AE

和

D1F

，二者相乘等于0即可证明出AE⊥D₁F进而根据线面垂直的性质证明出D₁F⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证明出D₁F⊥平面ADE．
（2）分别求得

EF

和

CB1

，利用向量的夹角公式求得异面直线所成的角．

解答： （1）证明：依题意知D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

AE

=（0，0，1），

D1F

=（0，1，-2），∴

AE

•

D1F

=0，
∴AE⊥D₁F；
∵AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
∴D₁F⊥AD，
∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴D₁F⊥平面ADE．
（2）解：依题意可知B₁（1，1，1），C（0，1，0），F（0，1，0），E（2，2，1），
∴

EF

=（2，1，1），

CB1

=（1，0，1），
∴cos＜

EF

，

CB1

）=

EF • CB1

| EF |•| CB1|

=

2+0+1

4+1+1 • 1+0+1

=

3

2

，
∴异面直线EF和CB₁所成的角为30°．

点评：本题主要考查了线面垂直和空间向量的应用．考查了学生综合分析和运算能力．