Question

若数列{a_n}是等比数列，其前n项和S_n=3ⁿ-t（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，首项b₁=5-2t，公差d=-2，其中t∈R．
（1）求实数t的值；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1，a₁=S₁=3-t，由此能求出t=1．
（2）由（1）得等差数列{b_n}的首项b₁=3，且公差为2，由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等比数列，其前n项和S_n=3ⁿ-t（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-t）-（3^n-1-t）=2×3^n-1，
又∵a₁=S₁=3-t，
∴3-t=2×3^1-1，解得t=1．
（2）∵数列{b_n}是等差数列，首项b₁=5-2t，公差d=-2，
∴由（1）得等差数列{b_n}的首项b₁=3，
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+4n．

点评：本题考查实数值的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用．