Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函数g（x）=ax²-x-1，其中常数a∈R．
（1）若函数f（x）与g（x）在区间（a-2，a）内均为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最大值时，记g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得：a≠0，f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a），g′（x）=2ax-1，讨论 ①当a＞0时，②当a＜0时的情况从而得出a的范围；
（2）由题意得a＜0，由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，即x=0，或x²=a²-1函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点，从而-1≤a＜0．又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，当x=

1

2a

时，g（x）有最大值-

1

4a

-1，进而求出h（a）=-

1

4a

-1，（-1≤a＜0）．

解答： 解：（1）由题意得：a≠0，f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a），
g′（x）=2ax-1，
 ①当a＞0时，
f′（x）＞0?x＞

a

3

，或x＜-a，
函数f（x）的增区间为（-∞，-a）、（

a

3

，+∞）．
g′（x）＞0?x＞

1

2a

，
函数g（x）的增区间为（

1

2a

，+∞）．
∵函数f（x）与g（x）在区间（a-2，a）内均为增函数，
∴

a＞0 a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

，解得：a≥3．
②当a＜0时，f′（x）＞0?x＜

a

3

，或x＞-a，
函数f（x）的增区间为（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）．
g′（x）＞0?x＜

1

2a

，
∴函数g（x）的增区间为（-∞，

1

2a

）．
∵函数f（x）与g（x）在区间（a-2，a）内均为增函数函数，
∴

a＜0 a≤ a 3 a≤ 1 2a

，解得：a≤-

2

2

．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-

2

2

]∪[3，+∞）．
（2）∵二次函数g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0，
由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，即x=0，或x²=a²-1
∵函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点，
∴a²-1≤0，
又a＜0，
∴-1≤a＜0． 　　                
又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
当x=

1

2a

时，g（x）有最大值-

1

4a

-1，
∴h（a）=-

1

4a

-1，（-1≤a＜0）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．