Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），

n

=（-1，1）且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，B=45°，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量的综合题

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）先根据向量垂直建立等式求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）先利用两角和公式求得sinC的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，
∴-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，即cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，
∴A=30°．
（Ⅱ）sinC=sin（18°-A-B）=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，
由正弦定理知c=

asinC

sinA

=

sin105°•1

sin30°

=

6 + 2

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

=

3 +1

4

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，平面向量的基础知识．综合考查了学生运用基础知识的能力．