Question

已知等差数列{a_n}，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{2 an-1}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项与公差，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）数列{2^an-1}的通项为2^an-1=2²ⁿ-1=4ⁿ-1，由此能求出数列{2 an-1}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知a₃²=a₁a₉，
即 （2+2 d）²=2×（2+8d）…（3分）
得：d²-2d=0，
解得d=2或d=0（舍）∴a_n=2n．…（5分）
（Ⅱ）数列{2^an-1}的通项为2^an-1=2²ⁿ-1=4ⁿ-1，…（7分）
∴S_n=4¹+4²+4³+…+4ⁿ-n=

4

3

×（4ⁿ-1）-n． …（10分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用．