Question

已知离心率为

3

2

的椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点M（0，1），过点M引两条互相垂直的直线l₁，l₂，若P为椭圆上任意一点，记点P到两直线的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+d₂²的最大值是（　　）

• A、

  16

  3

• B、5
• C、

  13

  4

• D、2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据离心率为

3

2

，结合a²=b²+c²求出椭圆的长半轴，则椭圆方程可求．因为两直线l₁、l₂相互垂直，所以点P到两直线的距离d₁、d₂的平方和可转化为P点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值．

解答： 解：椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点M（0，1），∴b=1，
∵离心率为

3

2

，∴a=2，c=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
设P（x₀，y₀），则
∵l₁⊥l₂，则d₁²+d₂²=PM²=x₀²+（y₀-1）²，
∵

x02

4

+y02=1，
∴d₁²+d₂²=-3（y₀+

1

3

）²+

16

3

，
∵-1≤y₀≤1，∴当y₀=-

1

3

时，d₁²+d₂²取得最大值为

16

3

．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属中档题．