Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为3，则∠BDF的余弦值是（　　）

• A、

  17

  51

• B、

  2 7

  51

• C、

  3 17

  51

• D、

  5 17

  51

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的简单性质求出直线方程，求出三角形三个顶点的坐标，利用余弦定理求得cos∠BDF的值．

解答： 解：由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），

c

a

=3．
∴BF=c-a=2a，BD 的方程为

x

-a

+

y

b

=1，即bx-ay+ab=0，
DC的方程为

x

-c

+

y

b

=1，即bx+cy+bc=0，即bx+3ay+3ab=0，
联立，可得D（-

3a

2

，-

b

2

），又b=2

2

a，
∴FD=

17

2

a，BD=

3a

2

，
△BDF中，由余弦定理得4a²=

17

4

a²+

9

4

a²-2•

17

2

•

3a

2

cos∠BDF，
∴cos∠BDF=

5 17

51

．
故选：D．

点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理和双曲线简单性质的灵活运用．