Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角B₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结A₁C，由菱形性质得A₁C⊥AC₁，又AC₁⊥BC，所以AC₁⊥平面A₁BC，由此能证明AC₁⊥A₁B．
（Ⅱ）过A₁点作AE⊥AC，交AC于E，由已知条件得BE⊥AC，AE=EC=

1

2

a，异面直线AC与BC₁所成角即为∠BC₁A₁，由此能求出二面角B₁-AB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，
∴ACC₁A₁是菱形，
连结A₁C，由菱形性质得A₁C⊥AC₁，
又AC₁⊥BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵A₁B?平面A₁BC，∴AC₁⊥A₁B．
（Ⅱ）解：过A₁点作AE⊥AC，交AC于E，
∵侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，
∴A₁E⊥BE，∴BE⊥AC，AE=EC=

1

2

a，
面A₁ACC₁⊥面A₁EB，∠BA₁C₁=90°
异面直线AC与BC₁所成角即为∠BC₁A₁，
由题意求出BC₁=

10

2

a，
∴cos∠BC₁A₁=

A1C1

BC1

=

a

10 2 a

=

10

5

．
∴二面角B₁-AB-C的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．