Question

设圆C与两圆（x+

3

）²+y²=1，（x-

3

）²+y²=1中的一个内切，另一个外切．
（1）求圆心C的轨迹L的方程
（2）求直线y=x+1被轨迹L截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F₁的距离加2与圆心C到圆心F₂的距离减1或圆心C到圆心F₁的距离减1与圆心C到圆心F₂的距离加1，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数2，且小于两圆心的距离2

3

，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）联立轨迹L方程与直线y=x+1，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值，利用两点间的距离公式求出直线y=x+1被轨迹L截得的弦长即可．

解答： 解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
由题意得：|CF₁|+1=|CF₂|-1或|CF₂|+1=|CF₁|-1，
∴||CF₂|-|CF₁||=2=2a＜|F₁F₂|=2

3

=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为2，焦距为2

3

的双曲线，
∴a=1，c=

3

，则b²=c²-a²=2，
则圆心C的轨迹L的方程为x²-

y2

4

=1；
（2）联立得：

x2- y2 4 =1 y=x+1

，
消去y得：x²-

(x+1)2

4

=1，即3x²+2x-5=0，
设方程的两根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

2

3

，x₁x₂=-

5

3

，
则直线y=x+1被轨迹L截得的弦长为

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 2

3

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线的轨迹方程，韦达定理，两点间的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．