Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-3）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A、f（0）+f（5）＜2f（3）
• B、f（0）+f（5）≤2f（3）
• C、f（0）+f（5）≥2f（3）
• D、f（0）+f（5）＞2f（3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：分x≥3和x＜3两种情况对（x-3）f′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=3时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证．

解答： 解：依题意，当x≥3时，f′（x）≥0，函数f（x）在（3，+∞）上是增函数；
当x＜3时，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，3）上是减函数，
故当x=3时f（x）取得极小值也为最小值，即有
f（0）≥f（3），f（5）≥f（3），
∴f（0）+f（5）≥2f（3）．
故选：C．

点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．