Question

若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A、f（0）+f（2）＜2f（1）
• B、f（0）+f（2）＞2f（1）
• C、f（0）+f（2）≤2f（1）
• D、f（0）+f（2）≥2f（1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．

解答： 解：∵（x-1）f'（x）≥0
∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0
∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（-∞，1）上为减函数
∴f（2）≥f（1）
 f（0）≥f（1）
∴f（0）+f（2）≥2f（1）
故选D．

点评：利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．