Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求a₃、a₅、a₇的值；
（2）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（3）（文）记b_n=a_2n-1+a_2n，数列{b_n}（n∈N^*）的前n项和为S_n，求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），分别令n=1，2，3可求结果；
（2）累加法：a_2n+1-a_2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ（n∈N^*），得a_2n-1-a_2n-3=3^n-1+（-1）^n-1，a_2n-3-a_2n-5=3^n-2+（-1）^n-2，…a₅-a₃=3²+（-1）²，a₃-a₁=3¹+（-1）¹，以上各式累加可得；
（3）首先根据b_n=a_2n-1+a_2n，以及（2）中求出的a_2n-1的表达式，求出数列{b_n}的通项，然后求和即可．

解答： 解：（1）由题意得，a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），
∴a₂=a₁+（-1）ⁿ=0，a₃=a₂+3¹=3，a₄=a₃+1=4，a₅=a₄+3²=13，
a₆=a₅-1=12，a₇=a₆+3³=39，
∴a₃、a₅、a₇的值分别为：3、13、39；
（2）将a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ代入a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），
得a_2n+1-a_2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ（n∈N^*），
∴a_2n-1-a_2n-3=3^n-1+（-1）^n-1，
a_2n-3-a_2n-5=3^n-2+（-1）^n-2，
…
a₅-a₃=3²+（-1）²，
a₃-a₁=3¹+（-1）¹，
以上各式累加得，a_2n-1-a₁=3¹+3²+…3^n-1+[（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]．
=

3(1-3n-1)

1-3

+

-[1-(-1)n-1]

1-(-1)

=

3n-(-1)n

2

-2
∴a_2n-1=

3n-(-1)n

2

-1（n∈N^*）．
（3）（文）由（2）可知，a_2n-1=

3n-(-1)n

2

-1（n∈N^*）
∴b_n=a_2n-1+a_2n=2a_2n-1+（-1）ⁿ=[

3n-(-1)n

2

-1]×2+（-1）ⁿ=3ⁿ-2（n∈N^*）
∴s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（3-2）+（3²-2）+（3³-2）+…+（3ⁿ-2）
=

3(1-3n)

1-3

-2n
=

1

2

.3ⁿ⁺¹-2n-

3

2

（n∈N^*）．

点评：本题考查了由数列递推式求数列通项，考查数列求和，考查学生的计算能力．