Question

已知抛物线C：y²=2x，O为坐标原点，经过点M（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，P为抛物线C上一点．
（Ⅰ）若直线l垂直于x轴，求|

1

kPA

-

1

kPB

|的值；
（Ⅱ）求三角形OAB的面积S的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）不妨设A（2，2），B（2，-2），P（

t2

2

，t），利用斜率公式，即可求|

1

kPA

-

1

kPB

|的值；
（Ⅱ）设l：x=ky+2，代入y²=2x中，利用韦达定理、弦长公式表示出面积，即可求三角形OAB的面积S的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）不妨设A（2，2），B（2，-2），P（

t2

2

，t），则
|

1

kPA

-

1

kPB

|=|

t2 2 -2

t-2

-

t2 2 -2

t+2

|=2；
（Ⅱ）设l：x=ky+2，代入y²=2x中，可得y²-2ky-4=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2k，y₁y₂=-4，
∴|AB|=

1+k2

•

4k2+16

，
∴三角形OAB的面积S=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

4k2+16

=2

k2+4

≥4，
∴三角形OAB的面积S的取值范围为[4，+∞）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．