Question

已知函数f（x）=ae^x-1（e为自然对数的底数，a为常数）的图象与直线y=x相切．
（Ⅰ）求a的值，并求函数y=f（x）-x的值域；
（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=ae^x，设切点为（x₀，f（x₀）），得方程组，解得x₀=0，a=1，从而y=f（x）-x=e^x-x-1，求出y=f（x）-x在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，得x=0时，y=[f（x）-x]_最小=0，进而y=f（x）-x的值域为：[0，+∞）；
（Ⅱ）x＞0时，f（x）-x＞f（0）-0=0，得f（x）＞x①，设h（x）=g（x）-x=lnx-x+1，x＞0时，h（x）≤0，即g（x）-x≤0，得g（x）≤x②，由①②得：f（x）＞g（x）．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^x，
设切点为（x₀，f（x₀）），
∴

f′(x0)=-1 f(x0)=x0

，即

aex0=1 aex0-1=x0

，
解得：x₀=0，a=1，
∵y=f（x）-x=e^x-x-1，
∴y′=e^x-1，
令y′＞0，解得：x＞0，
令y′＜0，解得：x＜0，
∴y=f（x）-x在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=0时，y=[f（x）-x]_最小=0，
∴y=f（x）-x的值域为：[0，+∞），
（Ⅱ）∵f（x）-x在（0，+∞）递增，
∴x＞0时，f（x）-x＞f（0）-0=0，
∴f（x）＞x①，
设h（x）=g（x）-x=lnx-x+1，
∴h′（x）=

1-x

x

，（x＞0），
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴x＞0时，h（x）≤0，即g（x）-x≤0，
∴g（x）≤x②，
由①②得：f（x）＞g（x）．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的值域问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．