Question

设点A（3，

5

2

），B（4，

3

），C（-3，-

5

2

），D（5，0），其中三点在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）上，另一点在直线l上．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l的斜率存在且为k，它与双曲线的同一支分别交于两点E、F，M、N分别为双曲线的左、右顶点，求满足条件

EN

•

FM

+

EM

•

FN

=32的k值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，A，B，C在双曲线上，代入双曲线方程，可求双曲线方程；
（2）直线y=k（x-5）代入双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用条件，即可求出k的值．

解答： 解：（1）由题意，A，B，C在双曲线上，代入双曲线方程，
可得

9 a2 - 5 4b2 =1 16 a2 - 3 b2 =1

，∴a=2，b=1，
∴双曲线方程为

x2

4

-y²=1；
（2）由题意，M（-2，0）、N（2，0），且直线l与双曲线的右支分别交于两点E、F，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），且y₁＜0，y₂＞0．
直线y=k（x-5）代入双曲线方程可得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，则k²＞

1

4

x₁+x₂=-

40k2

1-4k2

，x₁x₂=-

100k2+4

1-4k2

，y₁y₂=k²（x₁-5）（x₂-5），

EN

•

FM

+

EM

•

FN

=-（2-x₁）（2+x₂）+y₁y₂-（2+x₁）（2-x₂）+y₁y₂=-8+2x₁x₂+2y₁y₂=-8-

158k2+8

1-4k2

，
令-8-

158k2+8

1-4k2

=32，可得k=±2

6

，满足题意．

点评：本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．