Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，DF∥CE，DF⊥DC，且DF=2AD=2CE，AF=

3

AD．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取DF的中点G，连接GE，AG，先通过证明四边形ABEG为平行四边形，推断出BE∥AG，进而根据线面平行的判定定理证明出BE∥平面ADF．
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明出CD⊥平面ADF，进而可证明出CD⊥FA，然后通过勾股定理证明出DF⊥AD，最后利用线面平行的判定定理证明出AF⊥平面ABCD．

解答： 证明：（Ⅰ）取DF的中点G，连接GE，AG，
∵CE=

1

2

DF，DG=

1

2

DF，DF∥CE，
∴CE∥DG且CE=DG，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG，
∵AG?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（Ⅱ）∵ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵DF⊥DC，DF?平面ADF，AD?平面ADF，AD∩DF=D，
∴CD⊥平面ADF，
∵FA?平面ADF，
∴CD⊥FA，
∵AF=

3

AD，DF=2AD
∴DF²=AF²+AD²，
∴DF⊥AD，
∵AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，CD∩AD=D，
∴AF⊥平面ABCD．

点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．考查了学生三维观察能力和推理能力．