Question

关于x的一元二次方程x²+2tx+|a+2|+|a-1|=0对任意a∈R无实根，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得△＜0，即t²＜|a+2|+|a-1|对a∈R恒成立，利用绝对值三角不等式求得（|a+2|+|a-1|）_min=3，可得 t²＜3，由此求得实数t的取值范围．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x²+2tx+|a+2|+|a-1|=0对任意a∈R无实根，
∴△=4t²-4（|a+2|+|a-1|）＜0，即t²＜|a+2|+|a-1|对a∈R恒成立，（2分）
而|a+2|+|a-1|≥|（a+2）-（a-1）|=3，（4分）
当且仅当（a+2）（a-1）≤0，即-2≤a≤1时等号成立，∴（|a+2|+|a-1|）_min=3，（6分）
∴t²＜3，求得-

3

＜t＜

3

，∴实数t的取值范围为（-

3

，

3

）．

点评：本小题主要考查绝对不等式、绝对值三角不等式，不等式证明等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．