Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，求S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试探求a₁的值，使得数列{a_n}（n∈N^*）成等差数列．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，an+1=|an-4|+2(n∈N*)，得a₂=5，a₃=3，a₄=3，…，a_n=3，由此能求出S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）（i）当a_n＜4时，a_n+1+a_n=6，由已知推导出an=3(n∈N*)，此时a₁=3；（ii）当a_n≥4时，d=-2，a_n≥4对一切n∈N^*都成立，不符合题意．所以要使数列{an}(n∈N*)成等差数列，则a₁=3．

解答： 解：（1）a₁=1，an+1=|an-4|+2(n∈N*)，
a₂=4-a₁+2=5，
a₃=|a₂-4|+2=3，
a₄=|a₃-4|+2=3，…，a_n=3，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=

1，n=1 6，n=2 6+3(n-2)，n≥3

=

1，n=1 3n，n≥2

．
（2）（i）当a_n＜4时，a_n+1=-a_n+6，
即a_n+1+a_n=6…①
当n=1时，a₁+a₂=6；当n≥2时，a_n+a_n-1=6…②
①-②得，n≥2时，a_n+1-a_n-1=0，即a_n+1=a_n-1
又{a_n}为等差数列，∴an=3(n∈N*)，此时a₁=3，
（ii）当a_n≥4时，a_n+1=a_n-2，即a_n+1-a_n=-2，即d=-2
若d=-2时，则a_n+1=a_n-2…③
将③代入a_n+1=|a_n-4|+2得a_n-4=|a_n-4|，∴a_n≥4对一切n∈N^*都成立，
另一方面，a_n=a₁-2（n-1），
a_n≥4当且仅当n≤

a1

2

-1时成立，矛盾，
∴d=-2不符合题意，舍去
综合①②知，要使数列{an}(n∈N*)成等差数列，则a₁=3．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查使数列成等差数列的首项的取值的探究，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．