Question

函数f（x）=

1

3

x³-ax²-4
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（3，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（3，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=

1

3

x³-x²-4，
f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=x²-2x＞0，解得x＞2或x＜0．此时函数单调递增，
由f′（x）=x²-2x＜0，解得0＜x＜2．此时函数单调递减，
则f（x）的单调增区间时（2，+∞）和（-∞，0），单调减区间是（0.2）；
（2）若函数f（x）在（3，+∞）是增函数，
则等价为f′（x）=x²-2ax≥0在（3，+∞）内恒成立，
即x≥2a成立，
则a≤

x

2

，∵x＞3，∴

x

2

＞

3

2

，
则a≤

3

2

，
即实数a的取值范围是a≤

3

2

．

点评：本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．