Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，令b_n=

1

a n•a n+1

，则数列{b_n}的前n项和Sn=

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，求出数列的前几项，根据归纳推理得到数列{a_n}的通项公式，利用裂项法即可求出数列的前n项和．

解答： 解：当n=1时，a₂=a₁²-a₁+1=4-2+1=3，
当n=2时，a₃=a₂²-2a₂+1=9-6+1=4，
当n=3时，a₄=a₃²-3a₃+1=16-12+1=5，
当n=4时，a₅=a₄²-4a₄+1=25-20+1=6，
则由归纳法可知a_n=n+1，
则b_n=

1

a n•a n+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
则数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
故答案为：

1

2

-

1

n+2

点评：本题主要考查数列的求和计算，根据条件归纳出数列数列{a_n}的通项公式，利用裂项法是解决本题的关键．