Question

设T是边长为2的正△P₁P₂P₃的边及其内部的点构成的集合，点P₀是三角形的中心，若集合S={P∈T||PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3}，若M∈S，则（

P0P1

+

P0P2

）•

P3M

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断,集合的表示法

专题：平面向量及应用,集合

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3}，则P点应位于P₀P_i的三条垂直平分线与正△P₁P₂P₃的围成的平面图形之内，又由T是正△P₁P₂P₃及其内部的点构成的集合，我们易画出满足条件的图象，进而得到答案．

解答： 解：如图所示，AB、CD、EF分别为P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃的垂直平分线，
且AB、CD、EF分别交P₁P₂、P₂P₃、P₃P₁于点A、C、D、E、F、B．
若|PP₀|=|PP₁|，则点P在线段AB上，若|PP₀|≤|PP₁|，则点P在梯形ABP₃P₂中．
同理，若|PP₀|≤|PP₂|，则点P在梯形CDP₃P₁中．
若|PP₀|≤|PP₃|，则点P在梯形EFP₁P₂中．
综上可知，若|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，则点P在六边形ABFEDC中．
则当M落在线段AC上时，此时

P3M

在

P0P1

+

P0P2

的投影取最大值，
故此时（

P0P1

+

P0P2

）•

P3M

取最大值

2 3

3

•

3

=2
故答案为：2

点评：本题考查的知识点是不等式表示的平面区域，根据|PP₀|≤|PP_i|，画出满足条件的图形是解答本题的关键．