Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①求a_n；
②设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得an=

2

3

an-1，由此能求出an=

1

3

(

2

3

)n-1．
（2）①数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，能求出a_n=2n-1．
②由题bn=2nan=(2n-1)2n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由题意得，2a_n+S_n=1，
∴2a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
两式相减，得an=

2

3

an-1，…（3分）
又当n=1时，有3a₁=1，即a1=

1

3

，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an=

1

3

(

2

3

)n-1．…（5分）
（2）①∵数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得：
2an+Sn=2a1+2(n-1)d+

d

2

n2+(a1-

d

2

)n=

d

2

n2+(a1+

3d

2

)n+2a1-2d，
∵A=1，C=-2，∴

d

2

=1，a₁-d=-2，∴d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1．…（10分）
②由题bn=2nan=(2n-1)2n，
Tn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n，（ⅰ）
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹（ⅱ）…（13分）
（ⅰ）式-（ⅱ）式得：
-Tn=21+2•22+…+2•2n-(2n-1)•2n+1=2+

23•(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1
=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．