Question

【题目】(导学号：05856263)

已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点N，过点N作圆M：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为P、Q，且|PQ|＝.

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)过抛物线的焦点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，A、B两点的横坐标均不为2，连接AM，BM并延长分别交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x ，(2) 定值2

【解析】试题分析：（1）求得抛物线的准线方程，可得N的坐标，圆M的圆心和半径，可得四点N，P，M，Q共圆，且MN为直径，设为2R，在△PMQ中，运用余弦定理和正弦定理，可得2R=3，求得p=2，即可得到抛物线的方程；

（2）求得抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），运用直线的斜率公式，求得k1，k2，及，设出直线AC，BD和AB的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理，计算即可得到定值2．

试题解析：

(Ⅰ)由已知得N(－，0)，M(2,0)．设PQ与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|PR|＝.

于是|MR|＝＝.

由△PNM∽△RPM得＝，

∴|NM|＝3，即2＋＝3，p＝2.

故抛物线的方程为y2＝4x.

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则k1＝＝＝，

同理k2＝.

设AC所在直线的方程为x＝ty＋2，

与y2＝4x联立，得y2－4ty－8＝0，所以y1y3＝－8，同理y2y4＝－8，

所以k2＝＝(－)·.

设AB所在直线的方程x＝my＋1与y2＝4x联立，

得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，

所以k2＝(－)·＝，所以＝2，即为定值2.