【题目】已知函数
(I)若函数处取得极值,求实数
的值;并求此时
上的最大值;
(Ⅱ)若函数不存在零点,求实数a的取值范围;
【答案】(1)最大值为;(2)实数
的取值范围是
。
【解析】试题分析:(1)根据函数的极值的概念得到,
,根据函数的单调性得到函数的最值。(2)研究函数的单调性,找函数和轴的交点,使得函数和轴没有交点即可;分
和
,两种情况进行讨论。
解析:
(1)函数的定义域为R,
,
,
.
在上
单调递减,在
上
单调递增,所以
时
取极小值.
所以所求实数的值为1.
易知在
上
单调递增,在
上
单调递减;
且
.
当时,
在
的最大值为
(2),由于
.
①当时,
是增函数,
且当时,
.
当时,
,
,取
,
则,所以函数
存在零点.
②当时,
.
在上
单调递减,在
上
单调递增,所以
时
取最小值.
函数不存在零点,等价于
,
解得.
综上所述:所求的实数的取值范围是
.
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【题目】
已知椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
,直线y=x+b截得椭圆C的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线,交椭圆C于点A,B,求|AB|的最大值,并求取得最大值时m的值.
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【题目】函数f(x)=a-2ln x(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在x=2处的切线方程;
(Ⅱ)若a>,且m,n分别为f(x)的极大值和极小值,S=m-n,求证:S<
.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为
上任意一点,求
的最小值,并求相应的点M的坐标.
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升,
升,
升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. ,
,
依次成公比为2的等比数列,且
B. ,
,
依次成公比为2的等比数列,且
C. ,
,
依次成公比为
的等比数列,且
D. ,
,
依次成公比为
的等比数列,且
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【题目】(导学号:05856263)
已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点N,过点N作圆M:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为P、Q,且|PQ|=.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点,A、B两点的横坐标均不为2,连接AM,BM并延长分别交抛物线于C、D两点,设直线CD的斜率为k2,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】(导学号:05856288)
设函数f(x)=aln x-x,g(x)=aex-x,其中a为正实数.
(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(2,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点,求a的取值范围.
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【题目】(导学号:05856295)德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》, 在其年幼时,对1+2+3+…+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也被称为高斯算法.现有函数f(x)=,则f(1)+f(2)+…+f(m+2017)等于( )
A. B.
C.
D.
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