Question

17．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与函数g（x）=-$\frac{4}{x}$在区间[1，2]上的最大值互为相反数．
（1）求a的值；
（2）若函数F（x）=f（x²-mx-m）在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数g（x）=-$\frac{4}{x}$当x=2时，函数取最大值-2，故函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为2，进而可得a的值；
（2）若函数F（x）=f（x²-mx-m）在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是减函数，则t=x²-mx-m在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是减函数，且x²-mx-m＞0在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上恒成立，进而得到实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数g（x）=-$\frac{4}{x}$在区间[1，2]上为增函数，
故当x=2时，函数取最大值-2，
故函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为2，
若0＜a＜1，则当x=1时，f（x）=log_ax取最大值0，不满足条件；
若a＞1，则当x=2时，f（x）取最大值log_a2=2，
解得：a=$\sqrt{2}$，
综上可得：a=$\sqrt{2}$；
（2）若函数F（x）=f（x²-mx-m）在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是减函数，
则t=x²-mx-m在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是减函数，
且x²-mx-m＞0在区间（-∞，1-$\sqrt{3}$）上恒成立，
即$\frac{m}{2}$≥1-$\sqrt{3}$且（1-$\sqrt{3}$）²-m（1-$\sqrt{3}$）-m≥0，
解得：m∈[2-2$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，难度中档．