Question

【题目】设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足 ≤0，
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解 得：2＜x≤3；

∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；

∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足 ，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；

（2）解：￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；

￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；

∴a的取值范围为：（1，2]．

【解析】（1）由a=1得到命题p下的不等式，并解出该不等式，解出命题q下的不等式，根据p∧q为真，得到p真q真，从而求出x的取值范围；（2）先求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．