Question

设0＜x＜

π

2

，则函数f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：法一：先利用二倍角公式将函数f（x）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x，通过对二次齐次式分子分母同除以cos²x的办法，转化为关于x的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，
法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x，利用数形结合求函数的最值

解答：解：解法一：∵f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

=

2cos2x+6 sin2x

sin2x

=

2cos2x+6sin2x

2sinx•cosx

∵0＜x＜

π

2

，∴cosx＞0，tanx＞0，
∴将f（x）的分子分母同除以cos²x
∴f（x）=

2+6tan2x

2tanx

=

1

tanx

+3tanx≥2

1 tanx ×3tanx

=2

3

（当且仅当tanx=

3

3

，即x=

π

6

时取等号）
∴函数f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值为 2

3

故答案为2

3

解法二：∵f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

=

1+cos2x+6×  1-cos2x 2

sin2x

=

-2(cos2x -2)

sin2x

∴设x=sin2x，y=cos2x，
∵0＜x＜

π

2

，∴0＜x≤1，-1＜y＜1，
且x²+y²=1
∴点P（x，y）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图
此时

y-2

x

表示点P与点（0，2）连线的斜率
数形结合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴

y-2

x

≤-

3

∴

-2(cos2x -2)

sin2x

=

-2(y-2)

x

≥2

3

∴函数f(x)=

1+cos2x+6sin2x

sin2x

的最小值为 2

3

故答案为2

3

点评：本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法