Question

11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． $\frac{8π}{3}$
• C． $\frac{{5\sqrt{5}π}}{6}$
• D． $\sqrt{5}π$

Answer 1

分析 几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的体积公式计算即可．

解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，
底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD?平面SAC，
∵SA=1，AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，
∴半径R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}$π×（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）³=$\frac{5\sqrt{5}}{6}$π．
故选：C．

点评 本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．