Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．

   (I)判断EF与平面PBC的关系，并证明；

   (Ⅱ)当=l时，证明DF 平面PAC；

   (Ⅲ)是否存在实数，使异面直线EF与CD所成角为60°?若存在，

试求出的值；若不存在，请说明理由． 

Answer 1

解:(Ⅰ)EF//平面PBC ,证明如下：

      

       作FG//BC交CD于G，连结EG ，则

     ∵   ∴   ∴ PC//EG 

     又 FG//BC，BC∩PC=C，FG∩GE= G

     ∴ 平面PBC//平面EFG

      又EF平面PBC

∴ EF//平面PBC

（Ⅱ）∵，则F为AB的中点

 又AB=AD，AF=AB

 ∴在Rt△FAD 与Rt△ACD中

  

∴ ∠AFD=∠CAD

∴ AC⊥DF

又∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD

∴PA⊥DF

∴DF⊥平面PAC

（Ⅲ）建立如图所示空间直角坐标系，设PA=AD=1 ，则A（0,0,0），B（,0,0）

      D（0,1,0） C（,1,0）P（0,0,1）又

     ∴ F（）

设 E（0，y₀,x₀）则

又

∴（0，y₀，z₀-1）=（0，1-y₀，-z₀）

∴           即E（0，，）

∴

 

假设存在实数，是异面直线EF与CD所成的角为60⁰，则

 

∴    ∴

∴存在实数使异面直线EF与CD所成的角为60⁰