Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}都是等比数列；
（2）求数列{a_n}前2n项的和T_2n．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等比数列的前n项和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可得

an+2

an

=

1

2

，根据等比数列的定义判定出数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）根据T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）利用等比数列的求和公式求得答案．

解答： （1）证明：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴

an+2

an

=

1

2

，
∴数列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）解：T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3（1-

1

2n

）．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．